题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为 $数学公式$ ．
（I）求椭圆方程；
（II）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（ $数学公式$ ），证明： $数学公式$ 为定值．

解：（I）∵圆x²+y²+2x=0的圆心为（-1，0），依据题意c=1，a-c= $\text{[math]}$ -1，∴a= $\text{[math]}$ ．
∴椭圆的标准方程是： $\text{[math]}$ +y²=1；
（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=-1，
得A（-1， $\text{[math]}$ ），B（-1，- $\text{[math]}$ ），
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．

②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）
$\text{[math]}$ ?（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂= $\text{[math]}$ ，x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =（x₁+ $\text{[math]}$ ，y₁）•（x₂+ $\text{[math]}$ ，y₂）=x₁x₂+ $\text{[math]}$ （x₁+x₂）+ $\text{[math]}$ +k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+ $\text{[math]}$ ）（x₁+x₂）+k²+ $\text{[math]}$ =（1+k²）（ $\text{[math]}$ ）+（k²+ $\text{[math]}$ ）（- $\text{[math]}$ ）+k²+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =-2+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
综上 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 为定值- $\text{[math]}$ ．
分析：（I）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．
（II）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算．根据韦达定理，巧妙利用根与系数的关系设而不求，是解决本类问题的关键．