Question

已知椭圆的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为．
（I）求椭圆方程；
（II）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．
（II）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．
解答：解：（I）∵圆x²+y²+2x=0的圆心为（-1，0），依据题意c=1，a-c=-1，∴a=．
∴椭圆的标准方程是：+y²=1；
（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，），B（-1，-），
•=（，）•（，-）=-．

②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）
⇒（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=，x₁+x₂=-，
=（x₁+，y₁）•（x₂+，y₂）=x₁x₂+（x₁+x₂）++k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+）（x₁+x₂）+k²+=（1+k²）（）+（k²+）（-）+k²+
=+=-2+=-
综上•为定值-．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算．根据韦达定理，巧妙利用根与系数的关系设而不求，是解决本类问题的关键．