Question

已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a_n}是等比数列，其公比为q．
（1）若a=1，m=1，求公差d；
（2）若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a，c，m表示），求证：q是无理数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得1+d=q²，1+2d=q³，消去q可得 其正根为 d=．若插入的一个数在b，c之间，
则 1+d=q，1+2d=q³，消去q可得 1+2d=（1+d）³，此方程无正根．
（2）设在 a，b之间插入l个数，在 b，c之间插入t个数，则l+t=m，①若q为正数，则 a₂•a₃…a_m+2=，
所插入 m 个数的积为 =•；②若q 为负数，所插入m个数的积为 =±．
（3）在等比数列{a_n}，q^m+2=2 q^l+1 -1，m≥l，若q为整数，2 q^l+1 -q^m+2 是q的倍数，故1也是q的倍数，矛盾．若q为分数，则 y^m+2 是x的倍数，即y是x的倍数，矛盾，故q只能是无理数．
解答：解：（1）由a=1，且等差数列a，b，c的公差为d，可知 b=1+d，c=1=2d，
若插入的一个数在 a，b之间，则 1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得 （1+2d）²=（1+d）³，其正根为 d=．
若插入的一个数在b，c之间，则 1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得 1+2d=（1+d）³，此方程无正根．故所求公差 d=．…（4分）
（2）设在 a，b之间插入l个数，在 b，c之间插入t个数，则l+t=m，在等比数列{a_n} 中，
∵a₁=a，a_l+2=b=，a_m+3=c，a_k•a_m+4-k=a₁•a_m+3…，
∴（a₂•a₃…a_m+2）²=（a₂•a_m+2 ）•（ a₃•a_m+1）…（a_m+1•a₃ ）（a_m+2•a₂）=（ac）^m+1，
 又∵q^l+1=＞0，q^t+1=＞0，l，t 都为奇数，∴q 可以为正数，也可以为负数．
①若q为正数，则 a₂•a₃…a_m+2=，所插入 m 个数的积为
=•；
②若q 为负数，a₂，a₃，…，a_m+2 中共有  个负数，
当  是奇数，即 m=4k-2，k∈N₊ 时，所插入m个数的积为 = ；
当是偶数，即m=4k，k∈N₊时，所插入m个数的积为=-．
综上所述，所插入m个数的积为 =±．
（3）∵在等比数列{a_n}，由q^l+1 ==，可得 q^l+1 -1=，同理可得 ，
∴q^m+2-1=2（q^l+1 -1），即q^m+2=2 q^l+1 -1，m≥l，
假设q是有理数，若q为整数，∵a，b，c是正数，且d＞0，∴|q|＞1，
在 2 q^l+1 -q^m+2=1中，∵2 q^l+1 -q^m+2 是q的倍数，故1也是q的倍数，矛盾．
若q不是整数，可设q= （其中x，y 为互素的整数，x＞1 ），
则有 =2-1，即 y^m+2=x^m-l+1（2y^l+1-x^l+1），
∵m≥l，可得 m-l+1≥1，∴y^m+2 是x的倍数，即y是x的倍数，矛盾．
∴q是无理数．
点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式；等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式；用反证法证明数学命题．证明q是无理数，是解题的难点．