Question

已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=c，2S_n=a_na_n+1+r．
（1）若r=-6，数列{a_n}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设P_n=，Q_n=，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．

Answer 1

（1）解：n=1时，2a₁=a₁a₂+r，
∵a₁=c≠0，
∴2c=ca₂+r，． （1分）
n≥2时，2S_n=a_na_n+1+r，①
2S_n-1=a_n-1a_n+r，②
①-②，得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）．
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2． （ 3分）
则a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…成公差为2的等差数列，
a_2n-1=a₁+2（n-1）．
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…成公差为2的等差数列，
a_2n=a₂+2（n-1）．
要使{a_n}为等差数列，当且仅当a₂-a₁=1．
即．r=c-c²． （ 4分）
∵r=-6，∴c²-c-6=0，c=-2或3．
∵当c=-2，a₃=0，不合题意，舍去．
∴当且仅当c=3时，数列{a_n}为等差数列． （5分）
（2）证明：a_2n-1-a_2n=[a₁+2（n-1）]-[a₂+2（n-1）]=a₁-a₂=c+-2．
a_2n-a_2n+1=[a₂+2（n-1）]-（a₁+2n）=a₂-a₁-2=-（c+）． （8分）
∴
=．（9分）

=-．（10分）
∴•n•（n+c-1）+
=+．（11分）
∵r＞c＞4，
∴＞4，
∴＞2．
∴0＜＜＜1． （13分）
且=＞-1． （14分）
又∵r＞c＞4，
∴，
则0＜．．
∴＜1．
∴．
∴＜1．（15分）
∴对于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．（16分）
分析：（1）n=1时，2a₁=a₁a₂+r，由a₁=c，知．n≥2时，由2S_n=a_na_n+1+r，2S_n-1=a_n-1a_n+r，得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）．所以a_n+1-a_n-1=2．由此能够导出当且仅当c=3时，数列{a_n}为等差数列．
（2）由a_2n-1-a_2n=[a₁+2（n-1）]-[a₂+2（n-1）]=a₁-a₂=c+-2．知a_2n-a_2n+1=[a₂+2（n-1）]-（a₁+2n）=a₂-a₁-2=-（c+）．所以•n•（n+c-1）+=+．由此能够推导出对于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，计算繁琐，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．