题目内容
【题目】设数列
满足：
．
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据题意，可得a1+2a2+3a3++（n﹣1）an﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{an}的通项公式；
（2）根据题意，求出bn的通项公式，利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Sn．
（1）∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，
∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=2n﹣1②
①﹣②得nan=2n﹣1，an=
（n≥2），在①中令n=1得a1=2，
∴an=
（2）∵bn=
．
则当n=1时，S1=2
∴当n≥2时，Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1
则2Sn=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n
相减得Sn=n2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）
又S1=2，符合Sn的形式，
∴Sn=（n﹣1）2n+2（n∈N*）
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