题目内容
某企业为更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了100件产品进行分析，但由于工作人员不小心，丢失了部分数据：设备改造效果分析列联表
工作人员从设备改造前生产的产品中抽取两件，合格品数为ξ，从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为η，经计算得：P(ξ=0)=
| 38 | 9 |
（1）填写列联表中缺少的数据；
（2）求出ξ与η的数学期望，并比较大小，请解释你所得出结论的实际意义；
（3）能够以97.5%的把握认为设备改造有效吗？
参考数据：
分析：（1）工作人员从设备改造前生产的产品中抽取两件，合格品数为ξ，从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为η，根据所给的两个变量取0时概率之间的关系，写出关于x的方程，解方程即可，在再根据列联表中数据的关系，得到结果．
（2）根据题意看出两个变量可能取值，ξ可能取值是0，1，2，η的可能取值是0，1，2，结合变量对应的事件写出两组变量的分布列，算出期望，比较两个期望值的大小，得到结论．
（3）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，做出观测值是4.76，同临界值进行比较，4.76＜5.024，得到不能以97.5%的把握认为设备改造有效．
（2）根据题意看出两个变量可能取值，ξ可能取值是0，1，2，η的可能取值是0，1，2，结合变量对应的事件写出两组变量的分布列，算出期望，比较两个期望值的大小，得到结论．
（3）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，做出观测值是4.76，同临界值进行比较，4.76＜5.024，得到不能以97.5%的把握认为设备改造有效．
解答：解：（1）工作人员从设备改造前生产的产品中抽取两件，合格品数为ξ，
从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为η
∵P(ξ=0)=
P(η=0)．
∴
=
，
∴x=10，y=50-10=40，M=20+10=30，N=30+40=70．
（2）由题意知ξ可能取值是0，1，2
P（ξ=0）=
，
P（ξ=1）=
，
P（ξ=2）=
∴ξD的分布列是
∴E(ξ)=0×
+1×
+2×
=
由题意知η的可能取值是0，1，2
P（η=0）=
，
P（η=1）=
，
P（η=2）=
∴η的分布列是
∴E(η)=0×
+1×
+2×
=
∵E（ξ）＜E（η），
∴设备改造是有效的．
（3）k=
=4.76＜5.024，
∴不能以97.5%的把握认为设备改造有效．
从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为η
∵P(ξ=0)=
| 38 |
| 9 |
∴
| ||
|
| 38 |
| 9 |
| ||
|
∴x=10，y=50-10=40，M=20+10=30，N=30+40=70．
（2）由题意知ξ可能取值是0，1，2
P（ξ=0）=
| 38 |
| 245 |
P（ξ=1）=
| 120 |
| 245 |
P（ξ=2）=
| 87 |
| 245 |
∴ξD的分布列是
∴E(ξ)=0×
| 38 |
| 245 |
| 38 |
| 245 |
| 87 |
| 245 |
| 294 |
| 245 |
由题意知η的可能取值是0，1，2
P（η=0）=
| 9 |
| 245 |
P（η=1）=
| 80 |
| 245 |
P（η=2）=
| 156 |
| 245 |
∴η的分布列是
∴E(η)=0×
| 9 |
| 245 |
| 80 |
| 245 |
| 156 |
| 245 |
| 392 |
| 245 |
∵E（ξ）＜E（η），
∴设备改造是有效的．
（3）k=
| 100(20×40-10×30)2 |
| 30×70×50×50 |
∴不能以97.5%的把握认为设备改造有效．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，是一个统计和概率的综合题，本题难易可以作为一个高考题目．
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设备改造效果分析列联表
 。（1）填写列联表中缺少的数据； （2）绘制等高条形图，通过图形判断设备改进是否有效； （3）能够以97.5%的把握认为设备改造有效吗? 参考数据： | ||||||||||||||||||||||
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设备改造效果分析列联表
 ，从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为 ，经计算得： 。（1）填写列联表中缺少的数据； （2）求出  与 的数学期望，并比较大小，请解释你所得出结论的实际意义；（3）能够以97.5%的把握认为设备改造有效吗？ 参考数据： | ||||||||||||||||||||||
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