题目内容

曲线C上任一点到点E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A，B两点，点P在曲线C上且位于x轴上方，满足 $数学公式$ ．
（1）求曲线C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）以曲线C的中心O为圆心，AB为直径作圆O，是否存在过点P的直线l使其被圆O所截的弦MN长为 $数学公式$ ，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解（1）由题意知曲线C为椭圆且a=6，c=4得b²=20
故曲线C的方程为 $\text{[math]}$
（2）设P（x₀，y₀）又A（-6，0），F（4，0）且 $\text{[math]}$
代入坐标得x₀²+2x₀+y₀²-24=0①
又P在椭圆上故 $\text{[math]}$ ②
由①②并P在x轴的上方得 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
（3）假设存在满足题意的直线l1⁰若直线l得斜率不存在，则 $\text{[math]}$ 易得 $\text{[math]}$ ，故满足题意．（9分）2⁰若直线l得斜率存在，设 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
又圆心到直线的距离 $\text{[math]}$ 由题意知应有 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
则l： $\text{[math]}$
综上得存在满足题意的直线： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：（1）由题意知曲线C为椭圆且a=6，c=4得b²=20，由此能求出曲线C的方程．
（2）设P（x₀，y₀）又A（-6，0），F（4，0）且 $\text{[math]}$ ，代入坐标得x₀²+2x₀+y₀²-24=0，P在椭圆上故 $\text{[math]}$ ，由P在x轴的上方得 $\text{[math]}$ ，由此得到P点坐标．
（3）假设存在满足题意的直线l，若直线l得斜率不存在，则 $\text{[math]}$ ；若直线l得斜率存在，设 $\text{[math]}$ ，圆心到直线的距离 $\text{[math]}$ 由题意知应有 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，l： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查曲线方程的求法、求点P的坐标和判断直线方程是否存在，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．本题计算量较大，比较繁琐，解题时要细心运算，避免出错．