Question

曲线C上任一点到点E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求点P的坐标．

Answer 1

分析：（I）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，b=

20

，由此可知所求的椭圆方程．
（II）由已知A（-6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y），则

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y）由已知结合向量的数量积为0，由此可推导出点P的坐标．

解答：解：（I）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．
所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半轴b=

62-42

=

20

，
所以所求的椭圆方程为

x2

36

+

y2

20

=1；
（II）设点P的坐标为（x，y）
则

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），由已知得 

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

则 2x²+9x-18=0，解之得x=-6或x=

3

2

当x=-6时，y=0，与y＞0矛盾，舍去；
当x=

3

2

时，y2=

75

4

，取y=

5 3

2

（舍负）
∴P(

3

2

，

5 3

2

)．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．