题目内容
14．已知二次函数f（x）=ax2+（a-1）x+a．（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）函数g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1）{x}^{2}}{x}$在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．
分析 （1）由条件利用二次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1-a}{2a}≥-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．
（2）令g′（x）=0，求得x=$\root{3}{\frac{1}{2a}}$．再根据g（x）在（2，3）上是增函数，可得在（2，3）上，g′（x）＞0，即2ax3-1＞0，故有2a•23-1≥0，由此求得a的范围．
解答 解：（1）根据二次函数f（x）=ax2+（a-1）x+a在（-∞，-1）上单调递增，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1-a}{2a}≥-1}\end{array}\right.$，求得a≤-1．
（2）由于函数g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1）{x}^{2}}{x}$=ax2+$\frac{1}{x}$+a，则g′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{a•x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，求得x=$\root{3}{\frac{1}{2a}}$．
再根据g（x）在（2，3）上是增函数，可得在（2，3）上，g′（x）＞0，即2ax3-1＞0，∴a＞0．
再根据函数y=2ax3-1在R上是增函数，故只要g′（2）=2a•23-1≥0即可，求得a≥$\frac{1}{16}$．
点评 本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
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