Question

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出矩阵M，然后利用特征多项式建立方程求出它的特征值，最后分别求出特征值所对应的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩阵M的逆矩阵，然后利用点在矩阵M^-1的作用下的点的坐标，化简代入椭圆方程求出新的曲线方程．
解答：解：（Ⅰ）由条件得矩阵M=，
利用特征多项式求出它的特征值为2和3，
对应的特征向量为及；
（Ⅱ），
椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．
点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算，以及逆变换与逆矩阵，属于基础题．