Question

已知椭圆与双曲线共焦点，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点Q（0，2），P为椭圆C上的动点，点M满足：，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）由已知得双曲线焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，∴，∴
而c²=4，∴b²=a²-c²=18-4=14
∴所求椭圆方程为
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），由得（x，y-2）=（x₀-x，y₀-y）
∴而P（x₀，y₀）在椭圆上
即
即为所求M的轨迹方程．
分析：（1）根据椭圆与双曲线公焦点，可知椭圆的焦点坐标，利用点在椭圆C上，根据椭圆的定义，我们可以求出a的值，根据焦点坐标，利用b²=a²-c²，可以求出b²，从而可求椭圆C的方程；
（2）利用点M满足：，可得动点M与动点P之间的坐标关系，利用点P满足椭圆方程，我们可以求出动点M的轨迹方程．
点评：本题的考点是椭圆的标准方程，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是利用向量关系，寻求动点之间的坐标关系．