题目内容

已知等式sin²30°+sin²30°+sin²30°•sin²30°= $数学公式$ ，sin²40°+sin²20°+sin²40°•sin²20°= $数学公式$
（1）观察上述式子的特点，归纳出一般的结论；
（2）证明归纳出的结论．

解：（1）观察等式：
sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°= $\text{[math]}$ ，sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°= $\text{[math]}$ ，…，
照此规律，可以得到的一般结果应该是
sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）= $\text{[math]}$ ，
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）
=sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）
=sin²α+ $\text{[math]}$ cos²α+ $\text{[math]}$ sin²α- $\text{[math]}$ sinαcosα+ $\text{[math]}$ sinαcosα- $\text{[math]}$ sin²α
= $\text{[math]}$ sin²α+ $\text{[math]}$ cos²α= $\text{[math]}$ ．得证．
分析：（1）观察所给的等式，等号左边是sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°、sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°…规律应该是sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）；右边的式子： $\text{[math]}$ ，写出结果．
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）利用三角函数的差角公式化得sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）整理得 $\text{[math]}$ sin²α+ $\text{[math]}$ cos²α，即可得证．
点评：本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，该题着重考查了类比的能力．