题目内容
已知数列中,
,且
.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 令,数列
的前
项和为
,试比较
与
的大小;
(Ⅲ) 令,数列
的前
项和为
.求证:对任意
,
都有 .
解析:(Ⅰ)由题知,
,
由累加法,当时,
代入,得
时,
又,故
. ................4分
(II)时,
.
方法1:当时,
;当
时,
;
当时,
.
猜想当时,
. ................6分
下面用数学归纳法证明:
①当时,由上可知
成立;
②假设时,上式成立,即
.
当时,左边
,所以当
时成立.
由①②可知当时,
.
综上所述:当时,
;当
时,
;
当时,
. ...............10分
方法2:
记函数
所以 .........6分
则
所以.
由于,此时
;
,此时
;
,此时
;
由于,,故
时,
,此时
.
综上所述:当时,
;当
时,
. ...........10分
(III)
当时,
所以当时
+.
且
故对,
得证. .................14分

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