Question

（2012•泸州一模）已知函数f(x)=ax3+bx2-6(a-1)x-11(a＞

4

3

)，又f′（-1）=0．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）若存在m1，m2∈[-2，

1

2

]，使得|f（m₁）-f（m₂）|＞9成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f(x)=ax3+bx2-6(a-1)x-11(a＞

4

3

)，知f′（x）=3ax²+2bx-6（a-1），由f′（-1）=0，能用a表示b．
（Ⅱ）由f′(x)=3ax2+2bx-6(a-1)=3a(x+1)(x-

2a-2

a

)，令f′（x）=0，得x₁=-1，或x2=

2a-2

a

，由a＞

4

3

，知

2a-2

a

=2-

2

a

＞

1

2

＞-1，故f（x）在（-2，-1）上单调递增，在（-1，

1

2

）上单调递减，当x=-1时，有最大值f（-1）=

7

2

a-14，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=ax3+bx2-6(a-1)x-11(a＞

4

3

)，
∴f′（x）=3ax²+2bx-6（a-1），
∵f′（-1）=0，
∴f′（-1）=3a-2b-6（a-1）=0．
∴b=3-

3a

2

．
（Ⅱ）∵f′(x)=3ax2+2bx-6(a-1)=3a(x+1)(x-

2a-2

a

)，
令f′（x）=0，得x₁=-1，或x2=

2a-2

a

，
∵a＞

4

3

，∴

2a-2

a

=2-

2

a

＞

1

2

＞-1，
当f′（x）＜0时，-1＜x＜

2a-2

a

，
当f′（x）＞0时，x＜-1，或x＞

2a-2

a

，
∴f（x）在（-∞，1），（

2a-2

a

，+∞）上单调递增，在（-1，

2a-2

a

）上单调递减．
∴f（x）在（-2，-1）上单调递增，在（-1，

1

2

）上单调递减，
∴当x=-1时，有最大值f（-1）=

7

2

a-14，
∵f（-2）=-2a-11，f（

1

2

）=-

13

4

a-

29

4

，
∴f(-2)-f(

1

2

)=

5

4

a-

15

4

．
①当f（-2）≥f（

1

2

）时，即a≥3时，
符合条件的a满足|f（-1）-f（

1

2

）|＞9，
∴|

27a

4

-

27

4

|＞9，
∴a＜-

1

3

，或a＞

7

3

，
∴a≥3．
②当f（-2）＜f（

1

2

）时，即a＜3时，
符合条件的a满足|f（-1）-f（-2）|＞9，
∴|

11

2

a-3|＞9，
∴a＜-

12

11

或a＞

24

11

，
∴

24

11

＜a＜3．
综上所述，实数a的取值范围是（

24

11

，+∞）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．