题目内容
（2012•泸州一模）已知函数f（x）=2sinωx（
cosωx-sinωx）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积为
，b=
，f（B）=1，求a、c的值．
| 3 |
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积为
3
| ||
| 4 |
| 3 |
分析：（Ⅰ）将f（x）=2sinωx（
cosωx-sinωx）化简为f（x）=2sin（2ωx+
）-1，由其最小正周期为π可求ω的值；
（Ⅱ）由f（B）=1，可求得B=
，再结合已知条件利用余弦定理，通过解关于a，c的方程组即可求得a，c的值．
| 3 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由f（B）=1，可求得B=
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinωx（
cosωx-sinωx）
=
sin2ωx+cos2x-1
=2sin（2ωx+
）-1，
∵ω＞0，f（x）的最小正周期为π，
∴T=
=π，
∴ω=1；
∴f（x）=2sin（2x+
）-1，
（Ⅱ）∵在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=
，f（B）=1，
∴2sin（2B+
）-1=1，
∴sin（2B+
）=1．又0＜B＜π，
∴
＜2B+
＜
，
∴2B+
=
，解得B=
．
∵S△ABC=
acsinB=
ac×
=
，
∴ac=3
．①
∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即a2+c2-2ac×
=(
)2，
∴a2+c2=12．②
∴
解得：a=
，c=3或a=3，c=
．
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2ωx+
| π |
| 6 |
∵ω＞0，f（x）的最小正周期为π，
∴T=
| 2π |
| ω |
∴ω=1；
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
（Ⅱ）∵在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=
| 3 |
∴2sin（2B+
| π |
| 6 |
∴sin（2B+
| π |
| 6 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
∴2B+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
∴ac=3
| 3 |
∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即a2+c2-2ac×
| ||
| 2 |
| 3 |
∴a2+c2=12．②
∴
|
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查解三角形，着重考查三角函数中的恒等变换应用及正弦定理与余弦定理，体现化归思想与方程思想的作用，属于中档题．
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