题目内容

已知f(x)=4x+ax2-
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x3(x∈R)
在区间[-1,1]上是增函数,求实数a的取值范围.
分析:f(x)在区间[-1,1]上是增函数?f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立,设g(x)=x2-ax-2,利用二次函数的单调性即可得出.
解答:解:f′(x)=4+2ax-2x2
∵f(x)在区间[-1,1]上是增函数,
∴f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立,
设g(x)=x2-ax-2,则
g(-1)=1+a-2≤0
g(1)=1-a-2≤0
,解得-1≤a≤1.
故实数a的取值范围是[-1,1].
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于基础题.
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