Question

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=

3

，
EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当二面角D-EF-C的大小为45°时，求二面角A-EC-B的正切值．

Answer 1

分析：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系 C-xyz，设出AB，BE，CF，求出C，A，B，E，F，D的坐标，（1）求出cos＜

DA

，

FE

＞=

DA • FE

| DA |•| FE |

中的有关向量，即可求出所求角的大小．
（2）求出平面AEC的法向量

n

，通过cos＜

n

，

BA

＞=

n • BA

| n |•| BA |

，即可求解二面角A-EC-B的正切值．

解答：解：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系    C-xyz．…（1分）

设AB=a，BE=b，CF=c，(b＜c) 则C(0，0，0)，A( 3 ，0，a)，B( 3 ，0，0)，E( 3 ，b，0)，

F（0，c，0），D（0，0，a）…（2分）
（1）

DA

=(

3

，0，0)，

CB

=(

3

，0，0)，

FE

=(

3

，b-c，0)，
由|

FE

|=2，得3+(b-c)2=4，∴b-c=-1．…（4分）
所以

FE

=(

3

，-1，0)．
所以cos＜

DA

，

FE

＞=

DA • FE

| DA |•| FE |

=

3

3 ×2

=

3

2

，…（5分）
所以异面直线AD与EF成30°   …（6分）
（2）当二面角D-EF-C的大小为45，即∠DEC=45°．
设

n

=(1，y，z)为平面AEC的法向量，则

n

•

AE

=0，

n

•

EC

=0，
求得

n

=(1，-

3

3

，-

1

2

)．…（8分）
又因为BA⊥平面BEFC，

BA

=(0，0，1)，
所以cos＜

n

，

BA

＞=

n • BA

| n |•| BA |

=-

57

19

…（10分）
sin＜

n

，

BA

＞=

1-cos2＜ n ， BA ＞

═

1-(- 57 19 )2

=

4 19

19

，
tan＜

n

，

BA

＞=

4 19 19

- 57 19

=

4 3

3

．
∴二面角A-EC-B的正切值为

4 3

3

，．…（12分）

点评：本题是中档题，考查异面直线所成的角，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．