Question

【题目】已知函数存在唯一极值点。

（I）求的取值范围；

（II）证明：函数与的值域相同。

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意可得： ， ，

分类讨论：当时， 在内有唯一极值点；

当时，若， 无极值点，若， 有两个极值点，不合题意；则；

(Ⅱ)由（Ⅰ）知， ，设，则在上单减，在上单增， 的值域为，则原问题等价于，即，整理变形为，导函数单增，则原问题等价于，据此命题得证.

试题解析：

（Ⅰ）， ，当时， ，

故在上单调递增，又时， ， ，

故在内有唯一实根，即在内有唯一极值点；

当时，由得，故在上单增，在上单减，

若则恒成立，此时无极值点，若，

又时， 时，此时有两个极值点；

综上， ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设即，

则在上单减，在上单增， 的值域为，

要使与的值域相同，只需，即，

即，又，故即，

故只需证，又单增，所以要证即证，

而，故得证.