Question

一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函数的定义域为R，其图象关于点对称．
（1）求常数m的值；
（2）解方程：；
（3）求证：（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函数的图象关于点对称，可得f（x）+f（1-x）=1，代入化简，可得结论；
（2）由（1）知，，代入化简方程，可求方程的解；
（3）利用f（x）+f（1-x）=1，倒序相加，可得结论．
解答：（1）解：∵函数的图象关于点对称，∴f（x）+f（1-x）=1
∴+=1
∴+=1，∴m=2；
（2）解：由（1）知，
∵
∴
∴[]²--2=0
∴=2或
∴x=；
（3）证明：设可写成 
两式相加，∵f（x）+f（1-x）=1
∴，所以．
点评：本题考查函数的对称性，考查对数方程，考查等式的证明，正确运用函数的对称性是关键．