题目内容
附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当
时，都有f（x）=
成立？请给出结论，并加以证明．
分析：先假设存在这样的二次函数，设出二次函数的解析式，根据所给的三对数值，写出关于a，b，c的方程组，利用待定系数法得到结果，后面进行证明．
解答：解：存在符合条件的二次函数．
设f（x）=ax2+bx+c，则当k=1，2，3时有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
联立①、②、③，解得a=
，b=2，c=0．
于是，f（x）=
x2+2x．
下面证明二次函数f（x）=
x2+2x符合条件．
因为
=5（1+10+100++10k-1）=
（10k-1），
同理：
=
（102k-1）；
=f（
（10k-1））=
[
(10k-1)]2+2×
（10k-1）
=
（10k-1）2+2×
（10k-1）=
（10k-1）（10k+1）=
（102k-1）=
∴所求的二次函数 f（x）=
x2+2x符合条件．
设f（x）=ax2+bx+c，则当k=1，2，3时有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
联立①、②、③，解得a=
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| 5 |
于是，f（x）=
| 9 |
| 5 |
下面证明二次函数f（x）=
| 9 |
| 5 |
因为
=5（1+10+100++10k-1）=| 5 |
| 9 |
同理：
=| 5 |
| 9 |
=f（| 5 |
| 9 |
| 9 |
| 5 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
=
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
∴所求的二次函数 f（x）=
| 9 |
| 5 |
点评：本题考查二次函数的性质，考查利用待定系数法求函数的解析式，注意在解题过程中所给的数据虽然大，但是规律性很强，注意应用．
练习册系列答案
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时，都有f（x）=
成立？请给出结论，并加以证明．
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