Question

（附加题）设集合A={x|x=m+n

2

，其中m，n∈Z}
（1）对于给定的整数m，n，如果满足0＜m+n

2

＜1，那么集合A中有几个元素？
（2）如果整数m，n最大公约数为1，问是否存在x，使得x和

1

x

都属于A，如果存在，请写出一个，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）若n=0，则满足0＜m＜1的整数m不存在，此时为空集，没有元素，若n≠0，求出m的范围，对于任意给定的整数n，找出符合条件的m，从而确定集合中元素的个数；
（2）根据x和

1

x

都属于A建立等式关系，化成集合A中元素的形式，再根据整数m，n最大公约数为1，可得m²-2n²是1的公约数，即m²-2n²=±1，然后取一m和n使得满足条件即可．

解答：解：（1）若n=0，则满足0＜m＜1的整数m不存在，此时为空集
若n≠0，则-n

2

＜m＜1-n

2

，对于任意给定的整数n，只有一个整数m符合条件，此时为单元集
（2）设x∈A，则x=m+n

2

，m，n∈Z，则

1

x

=

m- 2 n

m2-2n2

=

m

m2-2n2

-

n

m2-2n2

2

，m，n∈Z
如果

1

x

∈A，则m²-2n²是1的公约数，即m²-2n²=±1，不妨取m=3，b=2，即x=3+2

2

点评：本题主要考查了集合中元素的个数，同时考查了最大公约数的概念，属于中档题．