Question

己知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．若同时满足条件：
（1）?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0：
（2）?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＞0．
则实数m的取值范围是

（-4，-2）

．

Answer 1

分析：由（1）可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由（2）可得：?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，结合函数y=（x-2m）（x+m+3）的图象可得：2m＜-4，解之可得m的另一个范围，取交集即可．

解答：解：∵g（x）=2^x-2，当x≥1时，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，
即

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，解得-4＜m＜0；
又因为?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此时有g（x）=2^x-2＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故m满足

m＜0 2m＜-(m+3) 2m＜-4 -(m+3)＜1

或

m＜0 2m＞-(m+3) 2m＜1 -(m+3)＜-4

，
解第一个不等式组得-4＜m＜-2，第二个不等式组无解．
综上可得m的取值范围是：（-4，-2）
故答案为：（-4，-2）．

点评：本题为二次函数和指数函数的综合应用，涉及数形结合的思想，属中档题．解题时要认真审题，仔细解答．