题目内容

已知函数f(x)=[2sin(x+
π
3
)+sinx]cosx-
3
sin2x．
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；
（2）若存在x0∈[0，
5
12
π]，使mf（x0）-2=0成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成2sin(2x+
π
3
)，最后根据正弦函数的对称性求出对称轴，求出a的最小值即可；
（2）根据x0∈[0，
5
12
π]的范围求出2x0+
π
3
的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出m的范围．
解答：解：（1）因为f(x)=(2sinx+
3
cosx)cosx-
3
sin2x=sin2x+
3
cos2x=2sin(2x+
π
3
)
所以函数f（x）的图象的对称轴由下式确定：2x+
π
3
=kπ+
π
2
，k∈Z
从而x=
k
2
π+
π
12
，k∈Z．由题可知当k=0时，a有最小值
π
12
；
（2）当x0∈[0，
5
12
π]时，2x0+
π
3
∈[
π
3
，
7
6
π]，
从而sin(2x0+
π
3
)∈[-
1
2
，1]，则f（x0）∈[-1，2]
由mf（x0）-2=0可知：m≥1或m≤-2．
点评：本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，则a的取值范围．
精英家教网已知函数f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）
已知函数f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函数．则实数a的值为
 
．
已知函数f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定义域与值域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）研究f（x）的单调性．
已知函数f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中实数a≠1．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

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