Question

在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答A₁、A₂、A₃三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：

A1	A2	A3
1000	2000	3000

当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答A₁、A₂、A₃的概率分别为

4

5

、

2

3

、

1

4

，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为

1

2

，且各个问题回答正确与否互不影响．
（Ⅰ）按照答题规则，求该选手A₁回答正确但所得奖金为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（I）记“A₁回答正确A₂回答错误”为事件A；“A₁、A₂回答正确A₃回答错误”为事件B；“A₁回答正确但所得奖金为零”为事件C，事件A、B互斥，利用互斥事件、对立事件的概率公式求出选手A₁回答正确但所得奖金为零的概率；
（II）由于该选手所获奖金总数为ξ，由题意则X的可能取值是0，1000，3000，6000，利用随机变量的定义及分布列定义即可求出期望值．

解答：解：（Ⅰ） 记“A₁回答正确A₂回答错误”为事件A；“A₁、A₂回答正确A₃回答错误”为事件B；“A₁回答正确但所得奖金为零”为事件C，事件A、B互斥，
则P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）
=

4

5

×

1

2

×

1- 2 3

+

4

5

×

1

2

×

2

3

×

1

2

×

1- 1 4

=

2

15

+

1

10

=

7

30

．…（6分）
（Ⅱ）ξ的取值分别为0、1000、3000、6000，
则P

ξ=1

000)=

4

5

×

1- 1 2

=

2

5

，P

ξ=3

000)=

4

5

×

1

2

×

2

3

×

1- 1 2

=

2

15

，P

ξ=6

000)=

4

5

×

1

2

×

2

3

×

1

2

×

1

4

=

1

30

，P

ξ=0

=1-

2 5 + 2 15 + 1 30

=

13

30

，
故ξ的分布列为：

ξ	0	1000	3000	6000
P	13 30	2 5	2 15	1 30

∴Eξ=0×

13

30

+1000×

2

5

+3000×

2

15

+6000×

1

30

=0+400+400+200=1000（元）．  …（12分）

点评：此题重在考查学生对于题意的正确理解，还考查了随机变量的定义及随机变量的分布列，另外还考查了期望与古典概率及独立事件的概率公式．