Question

9．已知函数f（x）=|log₂x|，正实数m、n满足f（m）=f（n），且f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$，2
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{4}$，2
• D． $\frac{1}{4}$，4

Answer 1

分析 由f（m）=f（n）可得mn=1，令f（x）=2得x=$\frac{1}{4}$或x=4，由f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2可知，
m²=$\frac{1}{4}$或n=4，且$\frac{1}{4}$≤m²＜n≤4，联立可解得答案．

解答 解∵f（m）=f（n），
∴-log₂m=log₂n
∴mn=1．
令f（x）=2得x=$\frac{1}{4}$或x=4．
由于f（x）=|log₂x|在（0，1）上递减，（1，+∞）上递增，
且f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，
∴$\frac{1}{4}$≤m²＜n≤4，且至少有一个取到等号．
解得：$\frac{1}{2}$≤m＜1＜n≤2．
∴m=$\frac{1}{2}$，n=2．
故选A．

点评 本题考查了函数图象的变换及对数的运算性质，属于基础题．