Question

已知f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)，直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）若ln（x+1）＜x+c对任意x都成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，∴f'（1）=1．
∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．
∴直线l的方程为y=x-1．（2分）
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，
∴方程组

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

有一解．
由上述方程消去y，并整理得x²+2（m-1）x+9=0①
依题意，方程①有两个相等的实数根，
∴△=[2（m-1）]²-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（7分）
∴当x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．
∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，
（Ⅲ）．ln（x+1）-x＜c恒成立，所以c≥（ln（x+1）-x）_max，
由（Ⅱ）可知ln（x+1）-x的最大值为0，
所以c≥0．