Question

2．已知函数f（x）=$\frac{g（x）-1}{g（x）+1}$，且f（x）、g（x）的定义域都是R，g（x）＞0，g（1）=2，g（x）是增函数，g（m）g（n）=g（m+n） （m，n∈R）．求证：f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析 先将原函数变成$f（x）=1-\frac{2}{g（x）+1}$，可考虑用单调性定义证明，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通过作差，根据g（x）＞0，及g（x）为增函数，即可证明f（x₁）＜f（x₂），这样便得出函数f（x）在R上单调递增．

解答 证明：f（x）=$\frac{g（x）-1}{g（x）+1}$=$\frac{g（x）+1-2}{g（x）+1}=1-\frac{2}{g（x）+1}$；
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{g（{x}_{2}）+1}-\frac{2}{g（{x}_{1}）+1}=\frac{2[g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]}{[g（{x}_{1}）+1][g（{x}_{2}）+1]}$；
∵g（x）＞0；
∴[g（x₁）+1][g（x₂）+1]＞0；
g（x）是增函数；
g（x₁）＜g（x₂）；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上为增函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数在一区间上为增函数的方法及过程，作差的方法比较两个函数值的大小，增函数定义的运用，分离常数法的运用．