Question

经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M．点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹M在点D处的切线平行，设直线与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于

2

2

|AD|，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）设动圆圆心为（x，y），由直线与圆相切可得

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理即得轨迹M的方程；
（2）由题意，要证∠BAD=∠CAD，可证k_AC=-k_AB，设点D（x0，

1

4

x02），则得kBC=

1

2

x0，设点C（x₁，

1

4

x12），B（x₂，

1

4

x22），则kBC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

1

2

x0，化简可得①，由①及斜率公式可得k_AC+k_AB=0，从而得证；
（3）由点D到AB的距离等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，不妨设点C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-

1

4

x02=-（x+x₀），与抛物线方程联立可得点B的坐标，从而可用x₀表示|AB|，同理可表示出|AC|，根据三角形面积为20可解得x₀，然后代入求出相应点的坐标，进而可得所求直线方程；

解答：解：（1）设动圆圆心为（x，y），依题意得，

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理，得x²=4y．
所以轨迹M的方程为x²=4y．
（2）由（1）得x²=4y，即y=

1

4

x2，则y′=

1

2

x．
设点D（x0，

1

4

x02），由导数的几何意义知，直线的斜率为kBC=

1

2

x0，
由题意知点A（-x₀，

1

4

x02）．设点C（x₁，

1

4

x12），B（x₂，

1

4

x22），
则kBC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x0，即x₁+x₂=2x₀，
因为k_AC=

1 4 x12- 1 4 x02

x1+x0

=

x1-x0

4

，k_AB=

1 4 x22- 1 4 x02

x2+x0

=

x2-x0

4

，
由于k_AC+k_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=

(x1+x2)-2x0

4

=0，即k_AC=-k_AB，
所以∠BAD=∠CAD；
（3）由点D到AB的距离等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨设点C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-

1

4

x02=-（x+x₀）．
由

y- 1 4 x02=-(x+x0) x2=4y

，解得点B的坐标为（x₀-4，

1

4

(x0-4)2），
所以|AB|=

2

|（x₀-4）-（-x₀）|=2

2

|x₀-2|．
由（2）知∠BAD=∠CAD=45°，同理可得|AC|=2

2

|x₀+2|，
所以△ABC的面积S=

1

2

×2

2

|x0-2|×2

2|

x0+2|=4|x02-4|=20，解得x₀=±3，
当x₀=3时，点B的坐标为（-1，

1

4

），kBC=

3

2

，
直线BC的方程为y-

1

4

=

3

2

（x+1），即6x-4y+7=0；
当x₀=-3时，点B的坐标为（-7，

49

4

），kBC=-

3

2

，
直线BC的方程为y-

49

4

=-

3

2

（x+7），即6x+4y-7=0．

点评：本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等．