Question

9．已知正四面体A-BCD，棱长AD=2，则正四面体的外接球的体积为多少？

Answer 1

分析 设正四面体的所有棱长均为2，所以此三棱锥一定可以放在棱长为$\sqrt{2}$的正方体中，外接球的直径为正方体的对角线长，即可求出这个正四面体外接球的体积．

解答 解：∵正四面体A-BCD，棱长AD=2，
∴此三棱锥一定可以放在正方体中，∴正方体的棱长为$\sqrt{2}$，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径为正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}•\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴球的体积为V=$\frac{4}{3}$πR³=$\sqrt{6}$π．

点评 本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入面积、体积公式分别求解．