Question

已知 100^m=5，10ⁿ=2．
（1）求 2m+n的值；
（2）x₁、x₂、…、x₁₀均为正实数，若函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），且f（x₁•x₂•…•x₁₀）=2m+n，求f（x₁²）+f（x₂²）+…+f（x₁₀²）的值．

Answer 1

分析：（1）由100^m=5，10ⁿ=2，知2m=lg5，n=lg2，由此能求出2m+n的值．
（2）由（1）知f（x₁x₂…x₁₀）=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₀）=1，由此能求出f(x12)+f(x22)+…+f(x102)的值．

解答：解：（1）∵100^m=5，10ⁿ=2，
∴2m=lg5，n=lg2，
∴2m+n=lg5+lg2=lg10=1．
（2）∵x₁、x₂、…、x₁₀均为正实数，
函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
且f（x₁•x₂•…•x₁₀）=2m+n，
∴f（x₁x₂…x₁₀）=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₀）=1，
∴f(x12)+f(x22)+…+f(x102)
=2[f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）]
=2×1=2．

点评：本题考查对数的性质和运算法则，考查对数式和指数式的相互转化，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．