Question

已知F（c，0）是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x-c)2+y2=

1

2

c2相切，则双曲线C的离心率为

2

．

Answer 1

分析：求出双曲线C的渐近线方程的一般式，再根据点F（c，0）到渐近线距离等于圆E的半径，列出关于a、b、c的等式，解之可得c=

2

a，从而得到双曲线C的离心率．

解答：解：∵双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，即bx±ay=0
又∵圆E：(x-c)2+y2=

1

2

c2的圆心为F（c，0），半径为

2

2

c
∴由双曲线C的渐近线与圆E相切，得

|bc|

b2+a2

=

2

2

c，
整理，得b=

2

2

c，即

c2-a2

=

2

2

c，可得c=

2

a
∴双曲线C的离心率e=

c

a

=

2

故答案为：

2

点评：本题给出双曲线的渐近线与圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．