题目内容

我们把函数f（x）连续进行n次求导后得到的函数，称为函数f（x）的n阶导函数，记为f^（n）（x）（其中n∈N₊）．比如：若f（x）=x³，则f^（2）（x）=6x．现给出下列函数：①f（x）=e^x；②f（x）=lnx；③f（x）=sinx；④f（x）=cosx；⑤f（x）=2．其中“?n∈N₊，f^（n）（x）=f（x）”的是（　　）

A．①②③

B．①③⑤

C．③④⑤

D．①③④

分析：利用导数的运算法则和周期性即可得出．

解答：解：①∵（e^x）^（n）=e^x，∴?n∈N₊，满足f^（n）（x）=f（x）；
②(lnx)′=

1

x

，(lnx)(2)=(

1

x

)′=-

1

x2

，…，∴不存在n∈N₊，满足f^（n）（x）=f（x）；
③（sinx）′=cosx，（sinx）^″=（cosx）′=-sinx，（sinx）^（3）=-cosx，（sinx）^（4）=sinx，…，因此存在n∈N₊满足f^（n）（x）=f（x）；
④同③．
⑤2′=0，∴不存在n∈N₊，f^（n）（x）=f（x）．
综上可知：只有①③④符合条件．
故选：D．

点评：本题考查了导数的运算法则和周期性，属于基础题．

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（1）求利润函数P（x）；
（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？
（3）在经济学中，对于函数f（x），我们把函数f（x+1）-f（x）称为函数f（x）的边际函数，记作Mf（x）．对于（1）求得的利润函数P（x），求边际函数MP（x）；并利用边际函数MP（x）的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）

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