Question

19．定义在R上的奇函数f（x）关于直线x=1对称，且在[0，1]上的解析式是f（x）=2x．
（1）试画出函数在[-2，8]上的图象；
（2）若直线y=ax，（a＞0）与函数f（x）的图象恰有5个交点，求a的值；
（3）若直线y=ax，（a＞0）与函数f（x）的图象有7个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定义在R上的奇函数f（x）关于直线x=1对称，且在[0，1]上的解析式是f（x）=2x，可得函数在[-2，8]上的图象；
（2）数形结合可得a=$\frac{2}{5}$时，直线y=ax，（a＞0）与函数f（x）的图象恰有5个交点；
（3）类比推理可得a=$\frac{2}{9}$，直线y=ax，（a＞0）与函数f（x）的图象恰有9个交点，进而得到答案．

解答 解：（1）∵定义在R上的奇函数f（x）关于直线x=1对称，且在[0，1]上的解析式是f（x）=2x．
故函数在[-2，8]上的图象如下图所示：

（2）若直线y=ax，（a＞0）与函数f（x）的图象恰有5个交点，如下图所示：

此时y=ax过（5，2）点，即a=$\frac{2}{5}$，
（3）类比（2）可得：若y=ax过（9，2）点，即a=$\frac{2}{9}$，直线y=ax，（a＞0）与函数f（x）的图象恰有9个交点，
若直线y=ax，（a＞0）与函数f（x）的图象有7个交点，
则a∈（$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{5}$）

点评 本题考查的知识点是根的存在性及个数的判断，函数的图象，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．