Question

已知平面内两点M，N，点M（2+5cosθ，5sinθ），|

MN

|=1，过N作圆C：（x-2）²+y²=4的两条切线NE，NF，切点分别为E，F，则

NE

•

NF

的最小值为

6

．

Answer 1

分析：有点M的坐标可知点M在以（2，0）为圆心，半径为5的大圆上，给出的圆C和点M的轨迹是同心圆，由|

MN

|=1可知N的轨迹是圆心在M的轨迹上，半径为1的圆，画出图形后，利用对称性取N的轨迹与x轴的左交点，分析得到N取该点时能使

NE

•

NF

的值最小．

解答：解：设M（x，y），由M（2+5cosθ，5sinθ），所以

x=2+5cosθ y=5sinθ

，
整理得：（x-2）²+y²=25．故点M在一个圆心为（2，0），半径为5的大圆上，这个大圆与圆C：（x-2）²+y²=4是同心圆．
又点N满足|

MN

|=1，所以点N的轨迹为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1．
基于对称性，我们取一个较为方便的位置进行研究．如图，
取θ=0，此时圆N的圆心为（7，0），于是N点在（x-7）²+y²=1的小圆上，这个小圆与x轴有两个交点，左边的交点N₁（6，0）；右边的交点N₂（8，0）．因为N₁离圆C最近，因此切线最短，两条切线的夹角α最大，且α是锐角，cosα是减函数，因此由N₁作出的两条切线向量的模最小，cosα的值最小，故数量积

N1E

•

N1F

必是最小．
在RT△CEN₁中，CN₁=4，CE=2，故|

N1E

|=|

N1F

|=

42-22

=2

3

，cos

α

2

=

2 3

4

=

3

2

，
cosα=2cos2

α

2

-1=2×(

3

2

)2-1=

1

2

．
∴

NE

•

NF

的最小值为|

N1E

||

N1F

|cosα=2

3

×2

3

×

1

2

=6．
故答案为6．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了圆的参数方程，体现了数形结合的解题思想，解答此题的关键是读懂题目意思，属中档题．