题目内容

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(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率;
(Ⅲ)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.
分析:(Ⅰ)利用点M到抛物线准线的距离为
,可得p=
,从而可求抛物线C的方程;
(Ⅱ)法一:根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),可得kHE=-kHF,设E(x1,y1),F(x2,y2),可得y1+y2=-2yH=-4,从而可求直线EF的斜率;
法二:求得直线HA的方程为y=
x-4
+2,与抛物线方程联立,求出E,F的坐标,从而可求直线EF的斜率;
(Ⅲ)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),求出直线HA的方程,直线HB的方程,从而可得直线AB的方程,令x=0,可得t=4y0-
(y0≥1),再利用导数法,即可求得t的最小值.
法二:求以H为圆心,HA为半径的圆方程,⊙M方程,两方程相减,可得直线AB的方程,当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-
(m≥1),再利用导数法,即可求得t的最小值.
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1 |
2 |
(Ⅱ)法一:根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),可得kHE=-kHF,设E(x1,y1),F(x2,y2),可得y1+y2=-2yH=-4,从而可求直线EF的斜率;
法二:求得直线HA的方程为y=
3 |
3 |
(Ⅲ)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),求出直线HA的方程,直线HB的方程,从而可得直线AB的方程,令x=0,可得t=4y0-
15 |
y0 |
法二:求以H为圆心,HA为半径的圆方程,⊙M方程,两方程相减,可得直线AB的方程,当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-
15 |
m |
解答:解:(Ⅰ)∵点M到抛物线准线的距离为4+
=
,
∴p=
,∴抛物线C的方程为y2=x.(2分)
(Ⅱ)法一:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),∴kHE=-kHF,
设E(x1,y1),F(x2,y2),∴
=-
,∴
=-
,
∴y1+y2=-2yH=-4.(5分)
∴kEF=
=
=
=-
.(7分)
法二:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),∴∠AHB=60°,可得kHA=
,kHB=-
,
∴直线HA的方程为y=
x-4
+2,
联立方程组
,得
y2-y-4
+2=0,
∵yE+2=
∴yE=
,xE=
.(5分)
同理可得yF=
,xF=
,∴kEF=-
.(7分)
(Ⅲ)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵kMA=
,∴kHA=
,
∴直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,
同理,直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,
∴(4-x1)y02-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)y02-y2y0+4x2-15=0,(9分)
∴直线AB的方程为(4-x)y02-yy0+4x-15=0,
令x=0,可得t=4y0-
(y0≥1),
∵t′=4+
>0,∴t关于y0的函数在[1,+∞)上单调递增,
∴当y0=1时,tmin=-11.(12分)
法二:设点H(m2,m)(m≥1),HM2=m4-7m2+16,HA2=m4-7m2+15.
以H为圆心,HA为半径的圆方程为(x-m2)2+(y-m)2=m4-7m2+15,①
⊙M方程:(x-4)2+y2=1.②
①-②得:直线AB的方程为(2x-m2-4)(4-m2)-(2y-m)m=m4-7m2+14.(9分)
当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-
(m≥1),
∵t′=4+
>0,∴t关于m的函数在[1,+∞)上单调递增,
∴当m=1时,tmin=-11.(12分)
p |
2 |
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4 |
∴p=
1 |
2 |
(Ⅱ)法一:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),∴kHE=-kHF,
设E(x1,y1),F(x2,y2),∴
yH-y1 |
xH-x1 |
yH-y2 |
xH-x2 |
yH-y1 | ||||
|
yH-y2 | ||||
|
∴y1+y2=-2yH=-4.(5分)
∴kEF=
y2-y1 |
x2-x1 |
y2-y1 | ||||
|
1 |
y2+y1 |
1 |
4 |
法二:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),∴∠AHB=60°,可得kHA=
3 |
3 |
∴直线HA的方程为y=
3 |
3 |
联立方程组
|
3 |
3 |
∵yE+2=
| ||
3 |
∴yE=
| ||
3 |
13-4
| ||
3 |
同理可得yF=
-
| ||
3 |
13+4
| ||
3 |
1 |
4 |
(Ⅲ)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵kMA=
y1 |
x1-4 |
4-x1 |
y1 |
∴直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,
同理,直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,
∴(4-x1)y02-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)y02-y2y0+4x2-15=0,(9分)
∴直线AB的方程为(4-x)y02-yy0+4x-15=0,
令x=0,可得t=4y0-
15 |
y0 |
∵t′=4+
15 | ||
|
∴当y0=1时,tmin=-11.(12分)
法二:设点H(m2,m)(m≥1),HM2=m4-7m2+16,HA2=m4-7m2+15.
以H为圆心,HA为半径的圆方程为(x-m2)2+(y-m)2=m4-7m2+15,①
⊙M方程:(x-4)2+y2=1.②
①-②得:直线AB的方程为(2x-m2-4)(4-m2)-(2y-m)m=m4-7m2+14.(9分)
当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-
15 |
m |
∵t′=4+
15 |
m2 |
∴当m=1时,tmin=-11.(12分)
点评:本题以抛物线与圆的方程为载体,考查抛物线的标准方程,考查直线方程,同时考查利用导数法解决函数的最值问题,综合性较强.

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