题目内容
已知分别以d1和d2为公差的等差数列{an}和{bn}满足a1=18，b14=36，（1）若d1=18，d2≥2917，且am2=bm+14-45，求m的取值范围；
（2）若ak=bk=0，且数列a1，a2，…，ak，bk+1，bk+1，…，b14…的前n项和Sn满足S14=2Sk，
①求数列{an}和{bn}的通项公式；
②令
，
，a＞0且a≠1，探究不等式AnBn+1＜An+Bn是否对一切正整数n恒成立？
【答案】分析：（1）因为等差数列{an}中，a1=18，d1=18，所以am=a1+（m-1）d1=18m，因为等差数列{bn}中，b14=36，d2≥2917，所以bm+14=b14+md2=36+md2，由am2=bm+14-45，能求出m的取值范围
（2）①因为ak=bk=0，所以S14=2Sk，即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk，所以
，解得k=10，由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式．
②因为an=20-n，bn=9n-90，所以
，又AnBn+1＜An+Bn等价于（An-1）（Bn-1）≤0，且a＞0且a≠1，由此进行分类讨论能求出当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．
解答：解：（1）因为等差数列{an}中，a1=18，d1=18，
所以am=a1+（m-1）d1=18m，
因为等差数列{bn}中，b14=36，d2≥2917，
所以bm+14=b14+md2=36+md2，（2分）
又因为am2=bm+14-45，
所以（18m）2=md2-9，
故有
，
因为m∈N*，所以m≥9； …（4分）
（2）①因为ak=bk=0，
所以S14=2Sk，
即bk+1+bk+2+…+b14=Sk，
亦即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk，
所以有
，
解得k=10，（6分）
由ak=a1+（k-1）d1，bk=b14+（k-14）d2知，d1=-2，d2=9，（8分）
所以an=20-2n，
bn=9n-90； （10分）
②因为an=20-n，bn=9n-90，
所以
，
又AnBn+1＜An+Bn等价于（An-1）（Bn-1）≤0，且a＞0且a≠1，
当a＞1时，若n=10时，（An-1）（Bn-1）=（a-1）（a-1）=0，
若n＜10时，a10-n＞1，an-10＜1，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立，
若n＞10时，a10-n＜1，an-10＞1，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立，
所以当a＞1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立． （14分）
同理可证，当0＜a＜1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．
即当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．（16分）
点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
（2）①因为ak=bk=0，所以S14=2Sk，即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk，所以
，解得k=10，由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式．②因为an=20-n，bn=9n-90，所以
，又AnBn+1＜An+Bn等价于（An-1）（Bn-1）≤0，且a＞0且a≠1，由此进行分类讨论能求出当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．解答：解：（1）因为等差数列{an}中，a1=18，d1=18，
所以am=a1+（m-1）d1=18m，
因为等差数列{bn}中，b14=36，d2≥2917，
所以bm+14=b14+md2=36+md2，（2分）
又因为am2=bm+14-45，
所以（18m）2=md2-9，
故有
，因为m∈N*，所以m≥9； …（4分）
（2）①因为ak=bk=0，
所以S14=2Sk，
即bk+1+bk+2+…+b14=Sk，
亦即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk，
所以有
，解得k=10，（6分）
由ak=a1+（k-1）d1，bk=b14+（k-14）d2知，d1=-2，d2=9，（8分）
所以an=20-2n，
bn=9n-90； （10分）
②因为an=20-n，bn=9n-90，
所以
，又AnBn+1＜An+Bn等价于（An-1）（Bn-1）≤0，且a＞0且a≠1，
当a＞1时，若n=10时，（An-1）（Bn-1）=（a-1）（a-1）=0，
若n＜10时，a10-n＞1，an-10＜1，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立，
若n＞10时，a10-n＜1，an-10＞1，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立，
所以当a＞1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立． （14分）
同理可证，当0＜a＜1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．
即当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．（16分）
点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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