Question

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³又函数 g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）[]上的零点个数为________．

Answer 1

6
分析：利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[，]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．
解答：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x³ ，所以，
当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，f（x）=f（2-x）=（2-x）³ ．
当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈[，]时，g（x）=-xcosπx．
注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，g（）=g（）=0，
作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，
分别在区间[-，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．
共有6个零点，
故答案为 6．
点评：本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大，属于中档题．