题目内容

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等．请你给出具体证明．

你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗？
答案：略
解析：

(1)勾股定理：Rt△ABC中，∠C＝90°，则．

证明：因为，

所以．

由∠C＝90°，有CA⊥CB，于是．

所以．

(2)菱形ABCD中，求证：AC⊥BD．

证明：因为，

所以．

因为ABCD是菱形，所以AB＝AD，所以．

因此，所以AC⊥BD．

(3)长方形ABCD中，求证：AC＝BD．

证明：因为ABCD是长方形，所以AB⊥AD，所以．

所以．

所以．

所以．

所以AC＝BD．

(4)正方体的对角线垂直平分．综合以上(2)(3)的证明即可．


练习册系列答案
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关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①
a
•
b
=
b
•
a
；②(
a
•
b
)•
c
=
a
•(
b
•
c
)；③
a
•(
b
+
c
)=
a
•
b
+
a
•
c
；
④|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|；⑤由
a
•
b
=
a
•
c
(
a
≠
0
)，可得
b
=
c
．
以上通过类比得到的结论正确的有（　　）
A、2个B、3个C、4个D、5个
将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
（1）
a
•
b
=
b
•
a
；
（2）(
a
•
b
)•
c
=
a
 •(
b
•
c
)；
（3）
a
•(
b
+
c
)=
a
•
b
+
a
• 
c
；
（4）由
a
•
b
=
a
•
c
(
a
≠
0
)可得
b
=
c
．
以上通过类比得到的结论正确的有（　　）
关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①
a
•
b
=
b
•
a
；②(
a
•
b
)•
c
=
a
•(
b
•
c
)；③
a
•(
b
+
c
)=
a
•
b
+
a
•
c
；
④|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|；⑤由
a
•
b
=
a
•
c
(
a
≠
0
)，可得
b
=
c
．
以上通过类比得到的结论正确的有（　　）
A．2个B．3个C．4个D．5个
将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）由可得．
以上通过类比得到的结论正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

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