Question

10．已知椭圆F的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），它的长轴是短轴的2倍，短轴长和抛物线y²=4x的焦准距相等，在椭圆F上任意取一点P作PQ⊥x轴，垂足是Q，点C在QP的延长线上，且$\overrightarrow{QC}$=2$\overrightarrow{QP}$．
（1）求动点C的轨迹方程E；
（2）若椭圆F的左右顶点是A，B，直线AC（C和A，B不重合）与直线x-2=0交于点R，D为线段BR的中点，判断直线CD与曲线E的位置关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意，先求出椭圆的方程，再利用代入法求动点C的轨迹方程E；
（2）设C（m，n）、R（2，t），根据三点共线得到4n=t（m+2），得R的坐标进而得到的坐标，由CD斜率和点C在圆x²+y²=4上，解出直线CD方程为mx+ny-4=0，最后用点到直线的距离公式即可算出直线CD与圆x²+y²=4相切，即CD与曲线E相切．

解答 解：（1）由题意，短轴长和抛物线y²=4x的焦准距相等，可得b=1，
∵长轴是短轴的2倍，∴a=2
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．  
点C在QP的延长线上，且$\overrightarrow{QC}$=2$\overrightarrow{QP}$，∴P是QC的中点，
设C（x，y），则P（x，$\frac{y}{2}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得动点C的轨迹方程E：x²+y²=4；               
（2）曲线E是以O（0，0）为圆心，半径为2的圆．
设C（m，n），点R的坐标为（2，t），
∵A、C、R三点共线，∴$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AR}$，
而$\overrightarrow{AC}$=（m+2，n），$\overrightarrow{AR}$=（4，t），则4n=t（m+2），
∴t=$\frac{4n}{m+2}$，可得点R的坐标为（2，$\frac{4n}{m+2}$），点D的坐标为（2，$\frac{2n}{m+2}$），
∴直线CD的斜率为k=$\frac{mn}{{m}^{2}-4}$，
而m²+n²=4，∴-n²=m²-4，代入上式可得k=-$\frac{m}{n}$，
∴直线CD的方程为y-n=-$\frac{m}{n}$（x-m），化简得mx+ny-4=0，
∴圆心O到直线CD的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=2=r，
因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．

点评 本题给出椭圆及其上的动点，求椭圆的方程并用此探索直线CD与曲线E的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．