题目内容
9．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，PA=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{3}$，E，F分别是棱AD，PC的中点．（I）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面PBD．
分析 （1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明．
（2）利用面面垂直的判定定理证明．
解答 证明（1）取PB中点M，连接FM、MA，
∵F，M为PC，PB的中点，
∴FM∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BC，（中位线定理），
∵ABCD是平行四边形且E是AD的中点，
∴AE∥BC，AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FM∥AE，FM=AE，
即四边形FMAE是平行四边形，
∴FE∥MA，
∵MA?平面PAB，EF??平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）∵BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴BD2+BA2=AD2，即AB⊥BD，
∴PB=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{5}$，
∴AB2+PB2=PA2，即PB⊥AB，
∴PB，BD?平面PBD，PB∩BD=B，
∴AB⊥面PBD．
∵CD∥BA，
∴CD⊥面PBD
又cD?面PCD．
∴平面PCD⊥平面PBD．
点评 本题主要考查线面平行和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
练习册系列答案
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（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）求以线段OM为直径且被直线5x+12y-9=0截得的弦长为4的圆C的方程；
（Ⅲ）过点F斜率为k（k≠0）的直线l与C1交于P、Q两点，与圆C交于A、B两点．问：是否存在直线l，使得线段PQ与线段AB有相同的中点？请说明理由．
| x | -4 | -1 | -$\frac{1}{2}$ | 0 |
| y | -8 | $\frac{3}{2}$ | 2$\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}$ |
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