Question

（2009•普陀区一模）已知数列{a_n}中，a₁=0，an+1=

1

2-an

，n∈N^*．
（1）求证：{

1

an-1

}是等差数列；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”．试判断：数列bn=an•(-

4

5

)n，n∈N^*是否为一个“

2

3

域收敛数列”，请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据题中所给出的等式，求数列{

1

an-1

}的相邻两项的差，并将这个差进行化简，最终得出这个差等于-1，得出数列{

1

an-1

}是公差为-1的等差数列，则不难通过数列{

1

an-1

}求出数列{a_n}的通项公式；
（2）bn=an•(-

4

5

)n，说明数列{b_n}的奇数项为负数，偶数项为正数．通过作差：|b_n+1|-|b_n|，化简得|b_n+1|-|b_n|=(

4

5

)n•

-n2+5

5n(n+1)

，讨论得当n=3时，|b₃|是数列{|b_n|}的最大项，但是b₃＜0，说明b₃是{b_n}最小的项，而在正数项中，绝对第二大的项可能是b₂或b₄，通过作差比较可得b₂是数列{b_n}的最大项．在此基础之上不难用定义：对于任意的正整数m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”，证明数列{b_n}是一个“

2

3

域收敛数列”了．

解答：证：（1）因为

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，n∈N^*；
故{

1

an-1

}是等差数列．
由此可得，

1

an-1

=

1

a1-1

+(n-1)×(-1)=-n，
所以an=1-

1

n

=

n-1

n

，n∈N^*．
（2）由条件bn=an•(-

4

5

)n，
可知当n=2k，b_n＞0；当n=2k-1时，b_n≤0，k∈N^*．
令|bn|=an•(

4

5

)n，则|bn+1|-|bn|=

n

n+1

•(

4

5

)n+1-

n-1

n

•(

4

5

)n=(

4

5

)n[

4

5

•

n

n+1

-

n-1

n

]=(

4

5

)n•

-n2+5

5n(n+1)

．
∴当-n²+5＞0⇒n≤2时，|b_n+1|＞|b_n|；
同理可得，当-n²+5＜0⇒n≥3时，|b_n+1|＜|b_n|；
即数列{|b_n|}在n=1，2，3时递增；n≥4时，递减；
即|b₃|是数列{|b_n|}的最大项．
然而，因为{b_n}的奇数项均为-|b_n|，故b3=-

2

3

•(

4

5

)3=-

128

375

为数列{b_n}的最小项；
而b2=

1

2

(

4

5

)2=

8

25

=0.32，b4=

3

4

•(

4

5

)4=

192

625

=0.3072，
所以b₂＞b₄，故b₂是数列{b_n}的最大项．
∴对任意的正整数m、n，|bn-bm|≤|b2-b3|=|

8

25

+

128

375

|=

248

375

＜

2

3

，
∴数列bn=an•(-

4

5

)n，n∈N^*是一个“

2

3

域收敛数列”．

点评：本题是一道由一个数列为基础，同时考查了函数不等式的相关知识，属于难题．着重考查数列的性质和应用，解题时要注意认真审题，仔细计算．