题目内容

已知：n=

n(n+1)

2

-

(n-1)•n

2

，n•（n+1）=

n•(n+1)•(n+2)

3

-

(n-1)•n•(n+1)

3

．
由以上两式，可以类比得到n（n+1）（n+2）=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

-

(n-1)•n•(n+1)(n+2)

4

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

-

(n-1)•n•(n+1)(n+2)

4

．

分析：根据n=

n(n+1)

2

-

(n-1)•n

2

，n•（n+1）=

n•(n+1)•(n+2)

3

-

(n-1)•n•(n+1)

3

的特点，类比得到n（n+1）（n+2）的分解式即可．

解答：解：由于：n=

n(n+1)

2

-

(n-1)•n

2

，n•（n+1）=

n•(n+1)•(n+2)

3

-

(n-1)•n•(n+1)

3

…
第一个式子中，右边是两个分母是2的分式的差，分子两个连续自然数的积；
第二个式子中，右边是两个分母是3的分式的差，分子三个连续自然数的积；
可由类比推理可得“n（n+1）（n+2）=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

-

(n-1)•n•(n+1)(n+2)

4

．
故答案为：

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

-

(n-1)•n•(n+1)(n+2)

4

．

点评：本题考查类比推理，解答本题的关键是：找出两类事物的相似性或一致性，得出一个明确的命题（猜想）．

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已知函数f(x)=(

)2(x＞0)，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记dn=

，求数列c_n的前n 项和T_n．

设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=

x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤

；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．

设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）= $数学公式$ x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤ $数学公式$ ；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．

设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=

x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤

；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．