Question

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

π

6

，和圆x²+y²=4相交于A、B两点．
（1）选择恰当的参数，写出直线l的参数方程，并求线段AB的长；
（2）求点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析：（1）因为直线l经过P，所以根据P的坐标和已知的倾斜角写出直线的参数方程，求线段AB的长可用两种方法，方法一：利用垂径定理及勾股定理，由圆的半径r及圆心到直线的距离d，即可求出|AB|的长；方法二：把直线的参数方程代入圆的方程，化简后得到一个关于t的一元二次方程，利用韦达定理即可求出|AB|的长；
（2）由（1）中的方法二中的关于t的一元二次方程得到两个之积的值，求出绝对值即为点P到A、B两点的距离之积．

解答：解：（1）直线的参数方程为

x=1+tcos π 6 y=1+tsin π 6

，即

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

，
（法一）由圆的方程x²+y²=4得到圆心（0，0），半径r=2，直线的普通方程为：x-

3

y+

3

-1=0
所以圆（0，0）到直线的距离d=

| 3 -1|

2

，所以|AB|=2

r2-d2

=2

22-( 3 -1 2 )2

=

12+2 3

；
（法二）把直线

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入x²+y²=4，
得(1+

3

2

t)2+(1+

1

2

t)2=4，t2+(

3

+1)t-2=0，
∴

t1+t2=-( 3 +1) t1t2=-2

，∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

12+2 3

；
（2）t₁t₂=-2，则点P到A，B两点的距离之积为|t₁t₂|=2．

点评：此题考查学生掌握并灵活运用直线与圆的参数方程，利用运用圆的垂径定理、勾股定理及韦达定理化简求值，是一道综合题．