题目内容
（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
| 6 | 7 |
（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
分析：（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案
新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．
新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．
解答：（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．
（2）解：以D为坐标原点，
、
、
的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．
∴
=(-4k，6k，0)，
=(0，3k，1)，
=(0，0，1)．
设平面AB1C的一个法向量为
=（x，y，z），则
，取y=2，则z=-6k，x=3．∴
=(3，2，-6k)．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sinθ=|cos＜
，
＞|=
=
=
，解得k=1，故所求k=1．
（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．
（2）解：以D为坐标原点，
| DA |
| DC |
| DD1 |
则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．
∴
| AC |
| AB1 |
| AA1 |
设平面AB1C的一个法向量为
| n |
|
| n |
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sinθ=|cos＜
| AA1 |
| n |
|
| ||||
|
|
| 6k | ||
|
| 6 |
| 7 |
（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=
|
点评：本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．
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