题目内容

已知等差数列{a_n}的公差不为零，且a₃=5，a₁，a₂．a₅ 成等比数列
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n且数列{b_n}的前n项和T_n 试比较T_n与 $数学公式$ 的大小．

解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，①
b₁+2b₂+4b₃+…+2 $\text{[math]}$ ，②
②-①得2ⁿb_n+1=2，∴ $\text{[math]}$ ．
当n=1时，b₁=a₁=1，∴ $\text{[math]}$ ，
当n=1时，T₁=a₁=1， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ．
当n≥2时，T_n=1+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ＞n+1，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴当n=1时， $\text{[math]}$ ，当n≥2时， $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；
（Ⅱ）由（I）可得：a_n=2n-1，由b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，及b₁+2b₂+4b₃+…+2 $\text{[math]}$ ，两式相减可得 $\text{[math]}$ ，利用等比数列的前n项和公式即可得到T_n，与 $\text{[math]}$ 比较即可．
点评：熟练掌握等差数列的通项公式和等比中项的定义、等比数列的前n项和公式、二项式定理是解题的关键．