Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值；M为AB中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先将三视图还原实物图，以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

BN

•

NB1

=0与

BN

•

B1C1

=0得到BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，而NB₁与B₁C₁相交于B₁，满足线面垂直的判定定理；
（2）先求平面C₁B₁N的一个法向量和平面NCB₁的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出两法向量夹角的余弦值，
根据图可知，所求二面角为锐角，从而得到二面角C-NB₁-C₁的余弦值；
（3）先设出点P的坐标，从而表示出

MP

，然后根据MP∥平面CNB₁，则

MP

与平面NCB₁的一个法向量垂直建立等式关系，即可求出点P，最后再求出BP的长即可．

解答：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）
则B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）

∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0（3分）
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁．
又NB₁与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．（5分）
（2）∵BN⊥平面C₁B₁N，

BN

是平面C₁B₁N的一个法向量

n1

=（4，4，0），（6分）
设

n2

=（x，y，z）为平面NCB₁的一个法向量，
则

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

?

(x，y，z)•(4，4，-4)=0 (x，y，z)•(4，-4，0)=0

?

x+y-z=0 x-y=0

，
取

n2

=（1，1，2），（8分）
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

4+4

16+16 • 1+1+4

=

1

3

=

3

3

由图可知，所求二面角为锐角，
所以，所求二面角C-NB₁-C₁的余弦值为

3

3

．（10分）
（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）（0≤a≤4）为BC上一点，则

MP

=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

?

MP

•

n2

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0?a=1．（13分）
∴在CB上存在一点P（0，0，1），使得MP∥平面CNB₁，且BP=1（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．