题目内容

一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为,一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3,求椭圆和双曲线的方程.
【答案】分析:首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类,不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程,然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组,再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程,最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可.
解答:解:若椭圆、双曲线的焦点在x轴上,则设椭圆、双曲线的标准方程分别为
由题意得
解得a1=7,a2=3,b1=6,b2=2,
所以焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为
同理焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为
点评:本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程.
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