Question

一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2

13

，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．

Answer 1

分析：首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．

解答：解：若椭圆、双曲线的焦点在x轴上，则设椭圆、双曲线的标准方程分别为

x2

a12

+

y2

b12

=1、

x2

a22

-

y2

b22

=1，
由题意得

a12-b12=13 a22+b22=13 a1-a2=4 c a2 c a1 = a1 a2 = 7 3

解得a₁=7，a₂=3，b₁=6，b₂=2，
所以焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1；
同理焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为

y2

49

+

x2

36

=1和

y2

9

-

x2

4

=1．

点评：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程．