Question

（2013•韶关三模）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ） 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ） 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求这两名学生的成绩均不低于80分的概率．

Answer 1

分析：（I）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．
（II）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．
（Ⅲ）先算出分数在“[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是18，15，3，利用组合知识得到从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人有C₃₆²，再利用分类计数原理求出这两名学生的成绩均不低于80分的种数，最后利用概率公式计算即可．

解答：解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3…（2分），
频率分布直方图第四小组的纵坐标是：

0.3

10

=0.03，
直方图如右所示      …（4分）
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75%       …（6分）
利用组中值估算抽样学生的平均分45•f₁+55•f₂+65•f₃+75•f₄+85•f₅+95•f₆…（8分）
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估计这次考试的平均分是71（分）          …（9分）
（Ⅲ）在“[70，80），[80，90），[90，100]”上的人数分别是18，15，3．
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
这两名学生的成绩均不低于80（分）的概率P=

C 2 15 + C 2 3 + C 1 15 • C 1 3

C 2 36

=

17

70

…（12分）

点评：本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．