题目内容
设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式
对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列{Sn}有关的数列{un}，使得
存在，并求出这个极限值．
【答案】分析：（1）由2Sn=an2+an，知n=1时，a1=1，当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1，2an=an2-an-12+an-an-1，由此能求出{an}的通项公式．
（2）设存在满足条件的正整数m，由
，
，n＞2010，知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，由此能求出m的最小值．
（3）设
，由
，知
=
，由此知
存在，并能求出这个极限值．
解答：解：（1）由题意得，2Sn=an2+an①，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，…（1分）
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1②，
①式减去②式得，2an=an2-an-12+an-an-1
于是，an2-an-12=an+an-1，（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，…（2分）
因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，…（3分）
所以{an}的通项公式为an=n（n∈N*）．…（4分）
（2）设存在满足条件的正整数m，
则
，
，n＞2010，…（6分）
又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，
所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，
它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．…（8分）
设共有k个满足条件的正整数，
则2010+2（k-1）=2998，解得k=495．…（10分）
所以，M中满足条件的正整数m存在，
共有495个，m的最小值为2010．…（12分）
（3）设
，即
，…（15分），
则
=
，
其极限存在，且
．…（18分）
注：
（c为非零常数），
（c为非零常数），
（c为非零常数，0＜|q|＜1）等都能使
存在．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
（2）设存在满足条件的正整数m，由
，，n＞2010，知M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，由此能求出m的最小值．（3）设
，由，知=，由此知存在，并能求出这个极限值．解答：解：（1）由题意得，2Sn=an2+an①，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，…（1分）
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1②，
①式减去②式得，2an=an2-an-12+an-an-1
于是，an2-an-12=an+an-1，（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，…（2分）
因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，…（3分）
所以{an}的通项公式为an=n（n∈N*）．…（4分）
（2）设存在满足条件的正整数m，
则
，，n＞2010，…（6分）又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，
所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，
它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．…（8分）
设共有k个满足条件的正整数，
则2010+2（k-1）=2998，解得k=495．…（10分）
所以，M中满足条件的正整数m存在，
共有495个，m的最小值为2010．…（12分）
（3）设
，即，…（15分），则
=
，其极限存在，且
．…（18分）注：
（c为非零常数），（c为非零常数），（c为非零常数，0＜|q|＜1）等都能使存在．点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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